Question

【题目】已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，为正三角形，是的中点，过的平面平行于平面，且平面与平面的交线为，与平面的交线为．

（1）在图中作出四边形（不必说出作法和理由）；

（2）若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）四边形MNOE即为所求，其中N为PD中点，O为AD中点，E为BC中点；

（2）连结OP，推导出，，平面PAD，，从而平面ABCD，，，，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量能求出平面与平面PBC形成的锐二面角的余弦值.

（1）如图，四边形即为所求，其中为中点，为中点，为中点；

（2）连接，依题意：，

所以，则，

又因为且，

所以平面，则，

因为为正三角形且为中点，

所以平面，

则，，，

以为原点建立如图坐标系，

因为，所以，，，，

则，，，

设平面的一个法向量为，则

，解得，

设平面的一个法向量为，

则，解得．

则，

所以平面与平面形成的锐二面角的余弦值为.