Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E为PB中点．

（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE；

（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；

（Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体积．

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）

【解析】

（I）连结交于，连结，利用中位线可证明，即可说明平面；

（II）由平面平面，底面为矩形可得：，根据勾股定理可得：，由此证明平面；

（III）取的中点，连结，可证明平面，由于为 中点，则过点作平面的高等于，所以，即可求出三棱锥 的体积

（I）连结交于，连结．因为底面是矩形，

所以为中点．又因为为 中点，所以．因为平面，

平面，所以平面．

（II） 因为底面为矩形，所以．

又因为平面平面，平面，平面平面，

所以平面．因为平面，所以．

因为，所以，即．

因为，，平面，

所以平面．

（III））取的中点，连结，因为，是的中点，所以，且，

因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，因为为 中点，

所以．

所以三棱锥C的体积为．