题目内容
【题目】如图所示,在四棱锥中,底面
是
且边长为
的菱形,侧面
为正三角形,其所在平面垂直于底面
,若
为
的中点,
为
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求证:;
(3)在棱上是否存在一点
,使平面
平面
,若存在,确定点
的位置;若不存在,说明理由
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在,当为
的中点时,能使平面
平面
【解析】
(1)利用已知可以判定四边形是平行四边形,利用平行四边形的性质可以得到线线平行,利用线面平行的判定定理证明出
平面
;
(2)根据为正三角形可以得到
,再根据
是等边三角形得到
,这样根据线面垂直的判定定理可以证明
平面
,再利用线面垂直的性质定理可以证明出
;
(3)可以猜想为
的中点时.根据已知侧面
垂直于底面
,可以通过面面垂直的性质定理可以得到
平面
.这样利用中位线可以证明出
平面
,这样证明出猜想是正确的.
(1)由已知,,
所以四边形
是平行四边形.
.
又平面
,
平面
,
平面
.
(2)连接.
,
.
是等边三角形,
又,
平面
.
.
(3)当为
的中点时,能使平面
平面
.证明如下、
平面
平面
,平面
平面
,
,
平面
,
平面
.连结
交
于
.则
是
的中点,
.
平面
.又
平面
,
平面
平面
.
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