题目内容
5．设函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，又f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（x）＜0，试判断F（x）=$\frac{1}{f（x）}$在（-∞，0）上的单调性，并给出证明．分析 设x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0，然后根据奇函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，建立不等关系，化简即可得到0＞f（x1）＞f（x2），从而得到函数的单调性．
解答 解：F（x）=$\frac{1}{f（x）}$是（-∞，0）上的单调递减函数．
证明如下：设x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0…（4分）
∵f（x）是（0，+∞）上的减函数，∴f（-x1）＜f（-x2）…（7分）
又∵f（x）为R上的奇函数且f（x）＜0，∴-f（x1）＜-f（x2）＜0，即0＞f（x1）＞f（x2）．…（10分）
∴F（x1）-F（x2）=$\frac{1}{f（{x}_{1}）}$-$\frac{1}{f（{x}_{2}）}$=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$＜0．
故F（x）=$\frac{1}{f（x）}$是（-∞，0）上的单调递增函数…．．（12分）
点评 本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数单调性的判断与证明，属于中档题．
练习册系列答案
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14．在△ABC中，∠B=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{AB}$=（2，0），$\overrightarrow{BC}$=（-sinA，cosA），则角A的大小是（ ）
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{2π}{3}$ | D． | $\frac{5π}{6}$ |