Question

10．设集合A={（x，y）|y=2x-1，∈N^*}，B={（x，y）|y=ax²-ax+a，x∈N^*}，问是否存在非零整数a，使A∩B=∅．

Answer 1

分析 假设A∩B≠∅，则方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{y=a{x}^{2}-ax+a}\end{array}\right.$有正整数解，消去y得x的二次方程，则由△≥0得a的范围，根据a为非零整数求得a值，在把a代入上述二次方程求出x进行检验即可．

解答 解：假设A∩B≠∅，则方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{y=a{x}^{2}-ax+a}\end{array}\right.$有正整数解，
消去y，得ax²-（a+2）x+a+1=0．（*）
由△≥0，得（a+2）²-4a（a+1）≥0，解得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤a≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
因a为非零整数，∴a=±1，
当a=-1时，代入（*），解得x=0或x=-1，而x∈N^*．故a≠-1．
当a=1时，代入（*），解得x=1或x=2，符合题意．
故存在a=1，使得A∩B≠∅，此时A∩B={（1，1），（2，3）}．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查方程思想，考查学生解决问题的能力．