题目内容
【题目】已知函数
，
.
（1）当
时，求函数
的单调递增区间；
（2）若函数只有一个零点，求实数
的取值范围；
（3）当
时，试问：过点
存在几条直线与曲线相切？
【答案】（1）
和
； （2）
；
（3）当
时，过点
有1条直线与曲线
相切；当
时，过点有2条直线与曲线相切；当
时，过点有3条直线与曲线相切.
【解析】
（1）当
时，
，分别求出在两段区间上的单调递增区间即可.
（2）
.当
时，函数单调递增；当
时，由
得
，分
和
具有不同的大小关系两种情况去判断函数的单调性，再根据单调性判断零点的个数情况即可。
（3）当时，设切点为
，切线的斜率
，得到方程 
，化简得
.再判断出方程无解，即没有符合题意的切线.当时，同理可得：
，判断出方程解的个数，即为存在的切线条数.
（1）当时，
，
当
时，
，由
得：
或
，又，
所以， 或
，即在和
上单调递增；
又
时，
恒成立，故在
上单调递增；
综上可知，函数的单调递增区间为和.
（2）
.
当时，
，因为
，所以恒成立，即函数在
上单调递增；
当时，
，因为，由得，
①若
，即
时，函数在
上单调递增，在
单调递减，在
上单调递增.
因为函数只有一个零点，且
，
所以只要
，解得
.
①若
即
时，函数在上单调递增，在
单调递减，
在
上单调递增.
因为，
，所以函数有两个零点，不合题意.
综上可知，实数
的取值范围是.
（3）当时，设切点为，因为切线的斜率，所以，化简得.
令
，则
，
因为
，所以
，从而函数
在上单调递增，
又
，此时函数在没有零点，即没有符合题意的切线.
当时，同理可得：，令
，则
，
因为，所以函数
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增，
因为
，
，
，
又由知，
，
所以，当时，
，
，故函数只有1个零点，即符合题意的切线只有1条；
当时，
，，故函数有2个零点，即符合题意的切线有2条；
当时，
，，故函数有3个零点，即符合题意的切线有3条；
综上可知，当时，过点有1条直线与曲线相切；
当时，过点有2条直线与曲线相切；
当时，过点有3条直线与曲线相切.
