题目内容
【题目】已知椭圆
的短轴长为2，离心率
，
（1）求椭圆
方程；
（2）若直线
与椭圆交于不同的两点
，与圆
相切于点
，
①证明：
（其中
为坐标原点）；
②设
，求实数
的取值范围..
【答案】（1）
（2）①证明见解析②
【解析】
(1)由题意可列出三个关于
的方程：
，解方程后即可得椭圆方程；
(2)①根据圆心到直线的距离等于圆的半径，得
与
的等量关系，要证明
，只需证明
即可，从而将数量积转化为坐标运算，联立直线
与椭圆方程，利用韦达定理消去坐标，得到关于
的代数式，再利用前面与的等量关系即可达到目的；
②直线
与椭圆交于不同的两点
，将代入椭圆的方程得
，再由圆的垂径定理可得
，结合
得到
，由
的范围可求得实数
的取值范围.
解（1）∵
∴
又
∴
∴椭圆
的方程为
①∵直线与
相切
∴
，即
由
消去
得
设
则
∵
∴.
②∵直线与椭圆交于不同的两点，
∴
∴
由(2)①知
∴
即
∴
又
∴的取值范围为
.
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【题目】2019年10月1日是新中国的第70个国庆日，庄重的阅兵、欢乐的游行、热烈的联欢尽显祖国的繁荣昌盛.为了了解当天某校900名高三学生的观看情况，从中抽取了100名学生，情况如下表所示：
观看情况 | 电视观看 | 网络观看 | 没有观看 |
人数 | 35 | 60 | 5 |
新时代下，网络观看使用最多的是手机，其它还有电脑、ipad等.“是否使用手机观看”与“学生的性别”之间对应的列联表如下：
使用手机观看 | 其它方式观看 | 合计 | |
男学生 | 20 | 8 | 28 |
女学生 | 20 | 12 | 32 |
合计 | 40 | 20 | 60 |
（1）估计该校高三学生当天的观看人数.
（2）当天没有观看的5名学生中，有3人第二天观看了重播.从这5名学生中任选2人求这2人第二天都看了重播的概率；
（3）根据列联表判断，能否有95%的把握认为网络观看的学生中“是否使用手机观看”与“学生的性别”有关？
附：
，其中
.
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
