题目内容
【题目】已知椭圆的短轴长为2,离心率
,
(1)求椭圆方程;
(2)若直线与椭圆交于不同的两点
,与圆
相切于点
,
①证明:(其中
为坐标原点);
②设,求实数
的取值范围..
【答案】(1)(2)①证明见解析②
【解析】
(1)由题意可列出三个关于的方程:
,解方程后即可得椭圆方程;
(2)①根据圆心到直线的距离等于圆的半径,得与
的等量关系,要证明
,只需证明
即可,从而将数量积转化为坐标运算,联立直线
与椭圆方程,利用韦达定理消去坐标,得到关于
的代数式,再利用前面
与
的等量关系即可达到目的;
②直线与椭圆交于不同的两点
,将代入椭圆的方程得
,再由圆的垂径定理可得
,结合
得到
,由
的范围可求得实数
的取值范围.
解(1)∵∴
又
∴
∴椭圆的方程为
①∵直线与
相切
∴,即
由消去
得
设
则
∵
∴.
②∵直线与椭圆交于不同的两点
,
∴
∴
由(2)①知
∴即
∴
又
∴的取值范围为
.

【题目】2019年10月1日是新中国的第70个国庆日,庄重的阅兵、欢乐的游行、热烈的联欢尽显祖国的繁荣昌盛.为了了解当天某校900名高三学生的观看情况,从中抽取了100名学生,情况如下表所示:
观看情况 | 电视观看 | 网络观看 | 没有观看 |
人数 | 35 | 60 | 5 |
新时代下,网络观看使用最多的是手机,其它还有电脑、ipad等.“是否使用手机观看”与“学生的性别”之间对应的列联表如下:
使用手机观看 | 其它方式观看 | 合计 | |
男学生 | 20 | 8 | 28 |
女学生 | 20 | 12 | 32 |
合计 | 40 | 20 | 60 |
(1)估计该校高三学生当天的观看人数.
(2)当天没有观看的5名学生中,有3人第二天观看了重播.从这5名学生中任选2人求这2人第二天都看了重播的概率;
(3)根据列联表判断,能否有95%的把握认为网络观看的学生中“是否使用手机观看”与“学生的性别”有关?
附:,其中
.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |