Question

（2013•青岛一模）已知x、y满足约束条件

x+y-1≤0 x≥0 y≥0

，若0≤ax+by≤2，则

b+2

a+1

的取值范围为（　　）

• A．[1，3]
• B．[

  2

  3

  ，4]
• C．[

  2

  3

  ，

  4

  3

  ]
• D．[

  4

  3

  ，4]

Answer 1

分析：作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图的△ABC及其内部．因为不等式0≤ax+by≤2对约束条件的所有x、y都成立，所以关于a、b的不等式组

0≤a≤2 0≤b≤2

恒成立，在aob坐标系内作出相应的平面区域，设Q（a，b）为区域内部及其边界上一点，利用T、Q两点连线的斜率加以计算，即可得到

b+2

a+1

的取值范围．

解答：解：作出不等式组

x+y-1≤0 x≥0 y≥0

表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0，B（0，1），
∵不等式0≤ax+by≤2对于约束条件的所有x、y都成立
∴记F（x，y）=ax+by，可得

F(1，0)=a∈[0，2] F(0，1)=b∈[0，2] F(0，0)=0∈[0，2]

即

0≤a≤2 0≤b≤2

，在aob坐标系中作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的正方形形POMN及其内部，
其中M（2，0），N（2，2），P（0，2），O是坐标原点
而k=

b+2

a+1

表示点T（-1，-2）与Q（a，b）连线的斜率，
点Q是四边形MKNO内部或边界一点
运动点Q可得：当Q与M重合时，k达到最小值，k_min=

0+2

2+1

=

2

3

当Q与P重合量，k达到最大值，k_max=

2+2

0+1

=4
∴

b+2

a+1

的取值范围为[

2

3

，4]
故选：B

点评：本题给出二元一次不等式组，在0≤ax+by≤2恒成立的情况下，求

b+2

a+1

的取值范围．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率和简单的线性规划等知识，属于基础题．