Question

【题目】已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆与直线相交于不同的两点，当时，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用椭圆的一个顶点为，离心率为，列出关于 、 、的方程组，求出 、，从而可得椭圆的方程；（2）设为弦的中点，直线与椭圆方程联立得)，由于直线与椭圆有两个交点，可得,由可得，从而得，由此可推导出的取值范围.

（1）∵椭圆C的焦点在x轴上，

∴设椭圆C的方程为：，

依题意有：，解得：，

∴椭圆C的方程为：，

（2）设，则

由消y得：，

又直线与椭圆有两不同交点，

∴，即 ①

由韦达定理有：，，

∴ ，

设M、N的中点为，则，

又，

∴，

∴，化简得： ， ②

将②式代入①式得：，解得： ，

又由②式有：，解得： ，

综上述，实数m的取值范围是．