Question

【题目】已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合： ①M={（x，y）|y= }；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③={（x，y）|y=2x﹣2}；
④M={（x，y）|y=log2x}
其中是“垂直对点集”的序号是（ ）
A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足： 对于任意A（x1 ， y1）∈M，存在B（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
因此 ．所以，若M是“垂直对点集”，
那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．
对于①：M={（x，y）|y= }，其图象是过一、二象限，且关于y轴对称，
所以对于图象上的点A，在图象上存在点B，使得OB⊥OA，所以①符合题意；
对于②：M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，
在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，
因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，
因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．
所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合题意；
对于③：M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），
且向右向上无限延展，向左向下无限延展，
所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，
过原点作OA的垂线OB必与y=2x﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．故③符合题意；
对于④：M={x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，
过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），
则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，
所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，
所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故④不符合题意．
故选：D．
【考点精析】通过灵活运用集合的表示方法-特定字母法，掌握①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合即可以解答此题．