题目内容
【题目】如图,四棱锥的底面为直角梯形,
,
,
,
,平面
平面
,点
在
上,且
.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)当异面直线与
所成角的余弦值为
时,求二面角
的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)先证明⊥
,再利用面面垂直性质得
⊥平面
,可得
⊥
,即可证明;
(Ⅱ)以为原点,分别以向量
,
,
的方向为
轴、
轴和
轴的正方向建立空间直角坐标系
,利用向量法求二面角即可.
(Ⅰ)证明:延长和
,使它们交于
,连结
,如图,
由已知,∥
,
,所以
;
又因为,所以
为直角三角形,且∠
为直角,即
⊥
;
不妨设,则在直角梯形
中,
,
,
;
所以,,从而
⊥
;
又因为平面⊥平面
,平面
平面
,
所以⊥平面
,从而
⊥
;
因为⊥
,
⊥
,
,所以
⊥平面
;
又因为平面
,所以平面
⊥平面
.
(Ⅱ)过作
⊥
于
,则由平面
⊥平面
及平面
平面
,
有⊥平面
,从而
,
,
两两垂直.
以为原点,分别以向量
,
,
的方向为
轴、
轴和
轴的正方向建立空间直角坐标系
,如图,
设∠(
),
,结合(1),易得
,
,
,
.
从而,,
.
由直线与
所成角的余弦值为
,有
,
即,解得
,即
,
从而.
,
;
设向量为平面
的一个法向量,则由
且
,
有,令
,得
;
设向量为平面
的一个法向量,则由
且
,有
,令
,得
;
;
从而;
所以,二面角的正弦值为
.

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.
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