题目内容
【题目】已知椭圆,以椭圆的顶点为顶点的四边形的面积为
,且该四边形内切圆的半径为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是过椭圆中心的任意一条弦,直线
是线段
的垂直平分线,若
是直线
与椭圆的一个交点,求
面积的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由已知条件列出的方程组,解得
后得椭圆方程;
(2)当不在坐标轴上时,设直线
的方程为:
,设
,
代入椭圆方程求出交点坐标,得弦长,同理得点坐标得
,然后计算三角形面积,利用基本不等式得最小值.再求出直线
与坐标轴重合时,三角形的面积,比较后可得最小值.
(1)
∴椭圆的标准方程为
(2)当不在坐标轴上时,设直线
的方程为:
,设
,
,
同理:,
∴
∵
(当且仅当,即
进“=”成立)
∴,
当直线与坐标轴生重合时,易得
,
∵
∴当且仅当时,
面积的最小值为
.
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