题目内容
【题目】如图所示的多面体中,AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为线段PB上的一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,.
(Ⅰ)试确定点F的位置,使得直线EF∥平面PDC;
(Ⅱ)若PB=3BF,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)当点F为BP中点时,使得直线EF∥平面PDC;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)设F为BP中点,取AP中点G,连结EF、EG、FG,推导出GF∥AB∥CD,EG∥DP,从而平面GEF∥平面PDC,进而当点F为BP中点时,使得直线EF∥平面PDC.
(Ⅱ)以D为原点,DC为x轴,在平面PDC中过D作CD垂线为y轴,DA为z轴,建立空间直角坐标系,求得平面PBC的一个法向量,的坐标,代入公式sinθ
求解.
(Ⅰ)设F为BP中点,取AP中点G,连结EF、EG、FG,
∵AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,E为AD的中点,
∴GF∥AB∥CD,EG∥DP,
∵EG∩FG=G,DP∩CD=D,∴平面GEF∥平面PDC,
∵EF平面GEF,
∴当点F为BP中点时,使得直线EF∥平面PDC.
(Ⅱ)以D为原点,DC为x轴,在平面PDC中过D作CD垂线为y轴,DA为z轴,建立空间直角坐标系,
∵E为AD的中点,F为线段PB上的一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,.
∴cos120°,解得CD=2,
所以A(0,0,3),B(2,0,3),P(﹣2,2,0),C(2,0,0),
设F(a,b,c),由PB=3BF,得,
即(a﹣2,b,c﹣3)(﹣8,2
,﹣3),
解得a,b
,c=2,∴F(
,
,2),
(
,﹣1),
(0,0,3),
(﹣4,2
,0),
设平面PBC的一个法向量(x,y,z),
则,取x=1,得
(1,
,0),
设直线AF与平面PBC所成角为θ,
则直线AF与平面PBC所成角的正弦值为:
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某快餐连锁店,每天以200元的价格从总店购进早餐,然后以每份10元的价格出售.40份以内,总店收成本价每份5元,当天不能出售的早餐立即以1元的价格被总店回收,超过40份的未销售的部分总店成本价回收,然后进行环保处理.如果销售超过40份,则超过40份的利润需上缴总店.该快餐连锁店记录了100天早餐的销售量(单位:份),整理得下表:
日销售量 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
频数 | 10 | 16 | 28 | 24 | 14 | 8 |
完成下列问题:
(1)写出每天获得利润与销售早餐份数
(
)的函数关系式;
(2)估计每天利润不低于150元的概率;
(3)估计该快餐店每天的平均利润.