题目内容
【题目】(题文)已知函数,其中
为正实数.
(1)若函数在
处的切线斜率为2,求
的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)若函数有两个极值点
,求证:
【答案】(1)1;(2)见解析;(3)见解析
【解析】试题分析:(1)根据导数几何意义得,解得
的值;(2)先求导数,再根据导函数是否变号分类讨论,最后根据导函数符号确定单调区间(3)先根据韦达定理得
,再化简
,进而化简所证不等式为
,最后利用导函数求函数
单调性,进而确定最小值,证得结论
试题解析:(1)因为,所以
,
则,所以
的值为1.
(2) ,函数
的定义域为
,
若
,即
,则
,此时
的单调减区间为
;
若
,即
,则
的两根为
,
此时的单调减区间为
,
,
单调减区间为.
(3)由(2)知,当时,函数
有两个极值点
,且
.
因为
要证,只需证
.
构造函数,则
,
在
上单调递增,又
,且
在定义域上不间断,
由零点存在定理,可知在
上唯一实根
, 且
.
则在
上递减,
上递增,所以
的最小值为
.
因为,
当时,
,则
,所以
恒成立.
所以,所以
,得证.
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