Question

6．在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A的平分线于AB边上的中线交于点O，若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），则x+y的值为$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 可设AB中点为D，根据条件AO在∠BAC的平分线上，从而可得到$\overrightarrow{AO}=\frac{k}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{3}\overrightarrow{AC}$，而根据D，O，C三点共线及D为AB中点，便可得出$\overrightarrow{AO}=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+（1-λ）\overrightarrow{AC}$．从而由平面向量基本定理得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{2}=\frac{λ}{2}}\\{\frac{k}{3}=1-λ}\end{array}\right.$，解出k，便可用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AO}$，根据平面向量基本定理即可求出x+y的值．

解答 解：如图，设AB中点D；
∵AO在∠BAC的平分线上，AB=2，AC=3；
∴存在k，使$\overrightarrow{AO}=k（\frac{\overrightarrow{AB}}{2}+\frac{\overrightarrow{AC}}{3}）=\frac{k}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{3}\overrightarrow{AC}$；
∵D，O，C三点共线，D是AB中点；
∴$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AD}+（1-λ）\overrightarrow{AC}$=$\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+（1-λ）\overrightarrow{AC}$；
∴由平面向量基本定理得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{2}=\frac{λ}{2}}\\{\frac{k}{3}=1-λ}\end{array}\right.$；
解得$k=\frac{3}{4}$；
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$；
∴$x+y=\frac{3}{8}+\frac{1}{4}=\frac{5}{8}$．
故答案为：$\frac{5}{8}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，菱形的对角线平分对角，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．