Question

1．已知函数f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$（x∈R，a、b为实数），且曲线y=f（x）在点$P（\frac{1}{3}，f（\frac{1}{3}））$处的切线l的方程是9x+10y-33=0．
（1）求实数a，b的值；
（2）现将切线方程改写为y=$\frac{3}{10}$（11-3x），并记g（x）=$\frac{3}{10}$（11-3x），当x∈[0，2]时，试比较f（x）与g（x）的大小关系．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，解a，b的方程，可得a，b的值；
（2）作差可得f（x）-g（x），记h（x）=9x³-33x²+19x-3，x∈[0，2]．求出导数，求得单调区间，可得h（x）的最大值，即可判断大小．

解答 解：（1）由${f^/}（x）=\frac{{a（{x^2}+1）-2x（ax+b）}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}=\frac{{a-a{x^2}-2bx}}{{{{（{x^2}+1）}^2}}}$
及切线l的方程是9x+10y-33=0．
可得f′（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{9}{10}$，
化得4a-3b+5=0，
又易知f（$\frac{1}{3}$）=3，化得a+3b-10=0，
解得a=1，b=3.$f（x）=\frac{x+3}{{{x^2}+1}}$．
（2）由$f（x）=\frac{x+3}{{{x^2}+1}}$，
可得f（x）-g（x）=$\frac{{10（x+3）-3（11-3x）（{x^2}+1）}}{{10（{x^2}+1）}}$=$\frac{{9{x^3}-33{x^2}+19x-3}}{{10（{x^2}+1）}}$，
记h（x）=9x³-33x²+19x-3，x∈[0，2]．
h′（x）=27x²-66x+19=（3x-1）（9x-19），
当$x∈（0，\frac{1}{3}）$时，h′（x）＞0，h（x）递增，
$x∈（\frac{1}{3}，2）$时，h′（x）＜0，h（x）递减，
故当x∈[0，2]时，$h（x）≤h（\frac{1}{3}）=0$，
所以当x∈[0，2]时，f（x）≤g（x）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查作差法比较两数的大小，考查运算能力，属于中档题．