Question

11．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求sin 2α-tan α的值；
（2）若函数f（x）=cos（x-α）cos α-sin（x-α）sin α，求函数y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）-2f²（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα、cosα、tanα的值，可得sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα的值．
（2）由条件利用三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求得函数y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）-2f²（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的值域．

解答 解：（1）由题意可知，sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（2）∵f（x）=cos（x-α）cos α-sin（x-α）sin α=cosx，x∈R，
∴y=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$-2x）-2cos²x=$\sqrt{3}$sin 2x-1-cos 2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．
∵0≤x≤$\frac{2π}{3}$，∴0≤2x≤$\frac{4π}{3}$，∴-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，∴-2≤2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1≤1，
故函数y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）-2f²（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的值域是[-2，1]．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．