题目内容
【题目】已知函数
，函数
在
处的切线与直线
垂直.
（Ⅰ）求实数
的值；
（Ⅱ）若函数
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）设
是函数的两个极值点，若
，求
的最小值.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由导数几何意义得
，求出导数
，代入解得（Ⅱ）函数
存在单调递减区间，等价于
在
上有解，求出导函数化简不等式得
在上有解，最后根据二次方程实根分布得充要条件
，解得b的取值范围是.（Ⅲ）先根据
是函数的两个极值点，即是
两个根，得
，再化简
，消参数b得
，再令
得
，解得
，由
解出函数定义域：
，可得
，最后利用导数求函数最值
试题解析：（Ⅰ）∵
，∴.
∵与直线
垂直，∴
，∴ .
（Ⅱ）
由题知在上有解，
设
，则
，所以只需
故b的取值范围是.
（Ⅲ）
令 
得
由题
，则
，所以令
，
又
，所以
， 所以
整理有
，解得
，所以
在
单调递减
故
的最小值是
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