Question

【题目】已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设为椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于 两点，求△的内切圆半径的最大值．

Answer 1

【答案】（１）（２）

【解析】

试题分析：（１）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即利用条件列出两个独立条件：一是离心率，二是根据点到直线距离公式得，解得a2＝3，b2＝1，c2＝2. （２）由等面积法得S△F1PQ＝ (|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|)·r＝|F1F2||y1－y2|，再由椭圆定义得ar＝c|y1－y2|，,因此本题转化为求弦长，利用直线方程与椭圆方程方程组，结合韦达定理可得，最后利用变量分离结合基本不等式求最值

试题解析：(1)直线AB的方程为，即bx－ay－ab＝0.

原点到直线AB的距离为，即3a2＋3b2＝4a2b2.①

c2＝a2.②

又a2＝b2＋c2，③

由①②③可得a2＝3，b2＝1，c2＝2. 故椭圆的方程为.

(2)F1(，0)，F2(，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

由于直线PQ的斜率不为0，故设其方程为x＝ky＋，

联立直线与椭圆的方程，得(k2＋3)y2＋2ky－1＝0.

故④

而S△F1PQ＝S△F1F2P＋S△F1F2Q＝|F1F2||y1－y2|＝，⑤

将④代入⑤，得S△F1PQ＝.

又S△F1PQ＝ (|PF1|＋|F1Q|＋|PQ|)·r＝2a·r＝2r，

所以＝2r，故r＝，

当且仅当，即k＝±1时，取得“＝”．

故△PQF1的内切圆半径r的最大值为.