题目内容
【题目】在直角坐标系
中，以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
为曲线上的动点，点
在射线
上，且满足
.
（Ⅰ）求点的轨迹
的直角坐标方程；
（Ⅱ）设与轴交于点
，过点且倾斜角为
的直线
与相交于
两点，求
的值.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）首先依据动点
的极坐标的关系找到点
的极坐标方程，再化为直角坐标方程；（Ⅱ）首先根据条件确定直线
的参数方程，依据参数
的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.
（Ⅰ）设的极坐标为
，
的极坐标为
，
由题设知
.所以
，
即
的极坐标方程
，所以的直角坐标方程为.
（Ⅱ）交点
，所以直线的参数方程为
（为参数），
曲线
的直角坐标方程
，
代入得：
，
，
设方程两根为
，则分别是
对应的参数，
所以
.
练习册系列答案
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【题目】某公司生产某种产品，一条流水线年产量为
件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：
第一段生产的半成品质量指标 |
|
|
|
第二段生产的成品为一等品概率 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
第二段生产的成品为二等品概率 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
第二段生产的成品为三等品概率 | 0.5 | 0.3 | 0.1 |
从第一道生产工序抽样调查了
件，得到频率分布直方图如图：
若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、
元、
元.
（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；
（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；
（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是
万元，使用寿命是
年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布
，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.
（参考数据：
，
，
）
