题目内容
【题目】函数f(x)是这样定义的:对于任意整数m,当实数x满足不等式|x﹣m|< 时,有f(x)=m.
(1)求函数f(x)的定义域D,并画出它在x∈D∩[0,3]上的图象;
(2)若数列an=2+10( )n , 记Sn=f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(an),求Sn .
【答案】
(1)解:函数f(x)的定义域是D={x||x﹣m|< }
={x|m﹣ <x<m+
,m∈Z}
图象如图所示
(2)解:由于an=2+10( )n,
所以f(an)= ,
当n=1时,S1=6,
n=2时,S2=f(a1)+f(a2)=6+4=10,
n=3时,S3=f(a1)+f(a2)+f(a3)=6+4+3=13,
n>3时,Sn=6+4+3+2(n﹣3)=2n+7,
因此Sn=
【解析】(1)利用绝对值不等式的解法,解|x﹣m|< ,可得定义域,并画出图象.(2)分别求出f(a1),f(a2),f(a3),…,f(an),考查数列{f(an )} 的性质,再求和.
【考点精析】利用数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案,需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系.

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