题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，且椭圆上一点P的坐标为
.
（1）求椭圆M的方程；
（2）设椭圆的右顶点为C，不经过点C的直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点C，
①证明：直线l过定点，并求出该定点坐标；
②求
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；定点
.②
【解析】
（1）由
得
，然后将
代入椭圆的方程即可求解
（2）①设直线AB的方程
，
，
，联立
可得
，
，由以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C得
，然后可算出
，②
，设
，然后可得
，然后利用二次函数的知识即可求出最大值.
（1）由已知，又
，则.
椭圆方程为
，将代入方程得
，
故椭圆的方程为；
（2）①证明：由题意知直线斜率不为0，设直线AB的方程，
联立消去x得
.
设，，
则有，①
又以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，
，
由
，
得
，
将
代入上式得
，
将①代入上式求得或
（舍），
则直线l恒过点.
②由上可得，
设，
则在
上单调递增，
当
时，
取得最大值.
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