题目内容
【题目】已知
为椭圆
：
的右焦点，椭圆上任意一点
到点
的距离与点
到直线
：
的距离之比为
。
（1）求直线
方程；
（2）设
为椭圆
的左顶点，过点
的直线交椭圆
于
、
两点，直线
、
与直线
分别相交于
、
两点，以
为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。
【答案】（1）
；（2）
和
．
【解析】
试题（1）设
为椭圆
上任意一点，利用条件得到
的方程，利用等式恒成立问题进行求解；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，进而得到
的坐标，利用对称性和平面向量的数量积为0研究其定点．
试题解析：（1）设为椭圆上任意一点，依题意有
∴ 
。将
代入，并整理得
由点为椭圆上任意一点知，方程对
的
均成立。∴ 
，且
解得
。
∴ 直线
的方程为
（2）易知直线
斜率不为0，设
方程为
。
由
，得
。
设
，
，则
，
。
由
，知
方程为
，点
坐标为
。
同理，点
坐标为
。
由对称性，若定点存在，则定点在
轴上。设
在以
为直径的圆上。
则
。
∴ 
。
即
，
，
或
。
∴ 以
为直径的圆恒过
轴上两定点和
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时，y是x的二次函数；当
时，
测得数据如下表（部分）：
x（单位：克） | 0 | 1 | 2 | 9 | … |
y | 0 |
| 3 |
| … |
（1）求y关于x的函数关系式
；
（2）当该产品中的新材料含量x为何值时，产品的性能指标值最大.
