题目内容
【题目】已知为椭圆
:
的右焦点,椭圆
上任意一点
到点
的距离与点
到直线
:
的距离之比为。
(1)求直线方程;
(2)设为椭圆
的左顶点,过点
的直线交椭圆
于
、
两点,直线
、
与直线
分别相交于
、
两点,以
为直径的圆是否恒过一定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由。
【答案】(1);(2)
和
.
【解析】
试题(1)设为椭圆
上任意一点,利用条件得到
的方程,利用等式恒成立问题进行求解;(2)设出直线方程,联立直线与椭圆方程,进而得到
的坐标,利用对称性和平面向量的数量积为0研究其定点.
试题解析:(1)设为椭圆
上任意一点,依题意有
∴ 。将
代入,并整理得
由点为椭圆上任意一点知,方程
对
的
均成立。∴
,且
解得
。
∴ 直线的方程为
(2)易知直线斜率不为0,设
方程为
。
由,得
。
设,
,则
,
。
由,知
方程为
,点
坐标为
。
同理,点坐标为
。
由对称性,若定点存在,则定点在轴上。设
在以
为直径的圆上。
则。
∴ 。
即,
,
或
。
∴ 以为直径的圆恒过
轴上两定点
和
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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时,
测得数据如下表(部分):
x(单位:克) | 0 | 1 | 2 | 9 | … |
y | 0 | 3 | … |
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当该产品中的新材料含量x为何值时,产品的性能指标值最大.