题目内容
【题目】设函数,
,给定下列命题:
①若方程有两个不同的实数根,则
;
②若方程恰好只有一个实数根,则
;
③若,总有
恒成立,则
;
④若函数有两个极值点,则实数
.
则正确命题的个数为( )
A. B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
利用导数研究函数的单调性,零点,极值以及恒成立问题.
对于①,的定义域
,
,
令有
即
,可知
在
单调递减,在
单调递增,
,且当
时
,又
,
从而要使得方程有两个不同的实根,即
与
有两个不同的交点,
所以,故①正确
对于②,易知不是该方程的根,
当时,
,方程
有且只有一个实数根,等价于
和
只有一个交点,
,又
且
,令
,即
,有
,知
在
和
单减,在
上单增,
是一条渐近线,极小值为
。
由大致图像可知
或
,故②错
对于③ 当时,
恒成立,
等价于恒成立,
即函数在
上为增函数,
即
恒成立,
即在
上恒成立,
令,则
,
令得
,有
,
从而在
上单调递增,在
上单调递减,
则,
于是,故③正确.
对于④ 有两个不同极值点,
等价于有两个不同的正根,
即方程有两个不同的正根,
由③可知,,即
,则④正确.
故正确命题个数为3,故选.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】(题文)随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”的赞成人数如下表:
年龄(单位:岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(1)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关.
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成的人数 | |||
不赞成的人数 | |||
合计 |
(2)若从年龄在[25,35)和[55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求3人中至少有1人年龄在[55,65)的概率.
参考公式:,
.
参考数据:
0.100 | ||||