题目内容
【题目】如图,四边形ABCD与BDEF均为菱形,设AC与BD相交于点O,若∠DAB=∠DBF=60°,且FA=FC.
(1)求证:FC∥平面EAD;
(2)求二面角A-FC-B的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)先证明平面FBC∥平面EAD,即证明FC∥平面EAD.(2)利用向量法求二面角A-FC-B的余弦值.
(1)证明:∵四边形ABCD与BDEF均为菱形,
∴AD∥BC,DE∥BF.
∵AD平面FBC,DE平面FBC,
∴AD∥平面FBC,DE∥平面FBC,
又AD∩DE=D,AD平面EAD,DE平面EAD,
∴平面FBC∥平面EAD,
又FC平面FBC,∴FC∥平面EAD.
(2)连接FO、FD,∵四边形BDEF为菱形,且∠DBF=60°,∴△DBF为等边三角形,
∵O为BD中点.所以FO⊥BD,O为AC中点,且FA=FC,
∴AC⊥FO,
又AC∩BD=O,∴FO⊥平面ABCD,
∴OA、OB、OF两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
设AB=2,因为四边形ABCD为菱形,∠DAB=60°,
则BD=2,OB=1,OA=OF=,
∴O(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),C(-
,0,0),F(0,0,
),
∴=(
,0,
),
=(
,1,0),
设平面BFC的一个法向量为n=(x,y,z),
则有∴
令x=1,则n=(1,-,-1),
∵BD⊥平面AFC,∴平面AFC的一个法向量为=(0,1,0).
∵二面角A-FC-B为锐二面角,设二面角的平面角为θ,
∴cosθ=|cos〈n,〉|=
=
=
,
∴二面角A-FC-B的余弦值为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目