题目内容

【题目】已知函数
(1)求f(x)的极值;
(2)当0<x<e时,求证:f(e+x)>f(e﹣x);
(3)设函数f(x)图象与直线y=m的两交点分别为A(x1 , f(x1)、B(x2 , f(x2)),中点横坐标为x0 , 证明:f'(x0)<0.

【答案】
(1)解:f′(x)= ,f(x)的定义域是(0,+∞),

x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;

x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.

当x=e时,f(x)取极大值为 ,无极小值


(2)解:要证f(e+x)>f(e﹣x),即证:

只需证明:(e﹣x)ln(e+x)>(e+x)ln(e﹣x).

设F(x)=(e﹣x)ln(e+x)﹣(e+x)ln(e﹣x),

∴F(x)>F(0)=0,

故(e﹣x)ln(e+x)>(e+x)ln(e﹣x),

即f(e+x)>f(e﹣x)


(3)解:证明:不妨设x1<x2,由(1)知0<x1<e<x2,∴0<e﹣x1<e,

由(2)得f[e+(e﹣x1)]>f[e﹣(e﹣x1)]=f(x1)=f(x2),

又2e﹣x1>e,x2>e,且f(x)在(e,+∞)上单调递减,

∴2e﹣x1<x2,即x1+x2>2e,

,∴f'(x0)<0


【解析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的极值即可;(2)问题转化为证明(e﹣x)ln(e+x)>(e+x)ln(e﹣x),设F(x)=(e﹣x)ln(e+x)﹣(e+x)ln(e﹣x),根据函数的单调性证明即可.

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