题目内容

如图，等边△SAB与直角梯形ABCD垂直，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=BC=2，AD=1．若E，F分别为AB，CD的中点．
（1）求|
SC
+
SD
|的值；
（2）求面SCD与面SAB所成的二面角大小．
（1）连接SF，则
在正△SAB中，AB=2，SE=
3
，E为AB的中点，∴SE=
3
，SE⊥AB
∵BC=2，AD=1，E，F分别为AB，CD的中点，∴EF=
3
2

∵等边△SAB与直角梯形ABCD垂直，SE⊥AB
∴SE⊥面ABCD，∴SE⊥EF
直角△SEF中，|SF|=
|SE|2+|EF|2
=
21
2
，
∴|
SC
+
SD
|=2|
SF|
=
21
；
（2）建立如图所示的直角坐标系，

则S（0，0，
3
），D（1，1，0），C（-1，2，0）
设面SCD的法向量为
n2
=（x，y，z），则由
n2
•
CD
=0
n2
•
SD
=0
，可得
2x-y=0
x+y-
3
z=0

取x=1，可得
n2
=（1，2，
3
）
∵面SAB的法向量为
n1
=(0，1，0)
∴cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|
n1
||
n2
|
=
2
2
2
=
2
2
．
练习册系列答案
相关题目
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证；EF∥平面BB1D1D．
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1、B1C1、C1D1的中点．
（1）求异面直线AG与BF所成角的余弦值；
（2）求证：AG∥平面BEF；
（3）试在棱BB1上找一点M，使DM⊥平面BEF，并证明你的结论．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=
3
，AD=2
2
，P为C1D1的中点，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；
（Ⅱ）求AD与平面AMP所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角P-AM-D的大小．
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若AB=1，AD=2，AA1=3，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°．
（1）求AC1的长；
（2）求异面直线AC1与A1B所成角的余弦值．
如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．
（1）设PD的中点为M，求证：AM∥平面PBC；
（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．
如图，ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，AA1⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=AA1=1，AB=2．
（1）求证：A1C1⊥平面BCC1B1；
（2）求平面A1BD与平面BCC1B1所成二面角的大小．
如图，己知平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，AD=3，G为CD中点，现将梯形ABCG沿着AG折起到AFEG．
（I）求证：直线CE∥直线BF；
（II）若直线GE与平面ABCD所成角为
π
6
．
①求证：FG⊥平面ABCD：
②求二面B一EF一A的平面角的余弦值．
如图，在长方体AC1中，AB=BC=2，AA1=
2
，点E、F分别是面A1C1、面BC1的中心．
（1）求异面直线AF和BE所成的角；
（2）求直线AF和平面BEC所成角的余弦值．

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