Question

16．已知a是方程（$\frac{1}{2}$）^x=${log}_{\frac{1}{2}}$x的解，则a∈（0，$\frac{1}{2}$]，a∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），a∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）中哪些一定成立？说明你的理由．

Answer 1

分析 利用指数函数与对数函数的单调性即可判断出．

解答 解：函数y=（$\frac{1}{2}$）^x，y=${log}_{\frac{1}{2}}$x．
当$0＜x≤\frac{1}{2}$时，$（\frac{1}{2}）^{x}$∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$≥1，因此a∉（0，$\frac{1}{2}$]；
当$\frac{1}{2}＜x＜\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$（\frac{1}{2}）^{x}$∈$（（\frac{1}{2}）^{\frac{\sqrt{2}}{2}}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$∈$（\frac{1}{2}，1）$，$\frac{1}{2}＜（\frac{1}{2}）^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，因此a∈$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$；
当$\frac{\sqrt{2}}{2}≤x＜1$时，$（\frac{1}{2}）^{x}$∈$（\frac{1}{2}，（\frac{1}{2}）^{\frac{\sqrt{2}}{2}}]$，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$∈$（0，\frac{1}{2}]$，因此a∉∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
综上可得：a∈$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．

点评 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．