题目内容
【题目】今有一个“数列过滤器”,它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项,并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列,每次“过滤”会删去数列中除以余数为
的项,将这样的操作记为
操作.设数列
是无穷非减正整数数列.
(1)若,
进行
操作后得到
,设
前
项和为
①求.
②是否存在,使得
成等差?若存在,求出所有的
;若不存在,说明理由.
(2)若,对
进行
与
操作得到
,再将
中下标除以4余数为0,1的项删掉最终得到
证明:每个大于1的奇平方数都是
中相邻两项的和.
【答案】(1)①②不存在.见解析(2)见解析
【解析】
(1)计算得到,再计算
得到答案,假设存在,由
单调递增,不妨设
,化简
,不成立.
(2)计算,根据题意得到
,再证明
得到答案.
(1)①由知:当
时
,故
.
则.
②解:假设存在,由单调递增,不妨设
化简得,显然左式为偶数,右式为奇数,矛盾,故不存在.
(2)易知,
所以保留,则
.
又,将
删去,
得到,则
也即.
记,下面证明:
.
由,
知:
,
同理可得:,
合并以上四式,便证明了对任意的,都有
.
因此,原命题得证.
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