Question

【题目】已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首项为4，公差为2的等差数列．
（I）设a为常数，求证：{an}成等比数列；
（II）设bn=anf（an），数列{bn}前n项和是Sn ， 当时，求Sn ．

Answer 1

【答案】证明：（I）f（an）=4+（n﹣1）×2=2n+2，
即logaan=2n+2，可得an=a2n+2 ．
∴为定值．
∴{an}为等比数列．
（II）解：bn=anf（an）=a2n+2logaa2n+2=（2n+2）a2n+2 ．
当时，．
Sn=2×23+3×24+4×25++（n+1）2n+2 ①
2Sn=2×24+3×25+4×26++n2n+2+（n+1）2n+3 ②
①﹣②得﹣Sn=2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）2n+3
=﹣（n+1）2n+3=16+2n+3﹣24﹣n2n+3﹣2n+3 ．
∴Sn=n2n+3 ．
【解析】（I）先利用条件求出f（an）的表达式，进而求出{an}的通项公式，再用定义来证{an}是等比数列即可；
（II）先求出数列{bn}的通项公式，再对数列{bn}利用错位相减法求和即可．