题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底而
为正方形,
底面
,
,点
为棱
的中点,点
,
分别为棱
,
上的动点(
,
与所在棱的端点不重合),且满足
.
(1)证明:平面平面
;
(2)当三棱锥的体积最大时,求二面角
的余弦值
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)连结交
于
连结
,则
,
面
,
,而
,
面
,易证
,则
面
,可得平面
平面
.解法二:通过建立空间直角坐标系,找出平面
平面
的法向量,通过法向量互相垂直来证明.
(2)通过建立空间直角坐标系,找到两个平面法向量之间的夹角余弦,从而得到二面角的余弦值.
(1)【解法一】:(综合法)
证明:连接交
于
,连接
.
因为底面为正方形,所以
,
,
又因为,所以
.
由底面
知,
底面
,
又底面
,所以
;
又;
平面
,所以
平面
.
在中,因为
,
,所以
,即
,
所以平面
.
又平面
,所以平面
平面
.
【解法二】
(向量法)
因为底面
,
,以
为坐标原点,
的方向为
轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
.则
,
,
,
.设
,则
.
,
,
,
.
设为平面
的一个法向量,则
即
可取
.
设为平面
的一个法向量,则
即
可取
.
因为,所以
.
所以平面平面
.
(2)解:设,
由题意知,,又
,
所以.
易知当三棱锥的体积最大时,
,即此时
,
分别为棱
,
的中点.
以为坐标原点,
的方向为
轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
.
则,
,
,
.
,
,
.
设是平面
的法向量,则
即
可取
.
设是平面
的法向量,则
即
可取
.
则.
由图知所求二面角为钝二面角,所以二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某地区为了调查高粱的高度、粒的颜色与产量的关系,对700棵高粱进行抽样调查,得到高度频数分布表如下:
表1:红粒高粱频数分布表
农作物高度( | ||||||
频 数 | 2 | 5 | 14 | 13 | 4 | 2 |
表2:白粒高粱频数分布表
农作物高度( | ||||||
频 数 | 1 | 7 | 12 | 6 | 3 | 1 |
(1)估计这700棵高粱中红粒高粱的棵数;
(2)估计这700棵高粱中高粱高()在
的概率;
(3)在样本的红粒高粱中,从高度(单位:)在
中任选3棵,设
表示所选3棵中高(单位:
)在
的棵数,求
的分布列和数学期望
.