题目内容
【题目】已知抛物线的焦点为
.
(1)过点的直线
与抛物线
相交于
两点,若
,求直线
的方程;
(2)点是抛物线
上的两点,点
的纵坐标分别为1,2,分别过点
作倾斜角互补的两条直线交抛物线
于另外不同两点
,求直线
的斜率.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
(1)设直线的方程为
,将直线与抛物线联立消去
,根据韦达定理可得
,
,再由抛物线定义可得
即可求解.
(2)求出点的坐标为
,点
的坐标为
,分类讨论①当两条直线的倾斜角都为
时,②当两条直线的倾斜角都不为
时,设直线
的方程与设直线
的方程,分别将直线与抛物线联立,利用韦达定理,整理化简即可求出直线
的斜率.
(1)设直线的方程为
,点
的坐标分别为
,
,
联立方程,消去
整理为
,则
,
,
所以,
由抛物线定义可得,
,所以
,
解得:,
故直线的方程为
,即
.
(2)由题意知,点的坐标为
,点
的坐标为
,
①当两条直线的倾斜角都为时,点
的坐标为
,点
的坐标为
此时直线的斜率为
,
②当两条直线的倾斜角都不为时,设点
的坐标为
,点
的坐标为
,
此时直线的斜率为
,
设直线的方程为
,
联立方程消去
整理为
,则
,得
,
设直线的方程为
,
联立方程消去
整理为
,
则,得
,
所以,可得
,
故直线的斜率为
,
综上,可得直线的斜率为
.

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