题目内容
【题目】已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)设,当函数
与
的图象有三个不同的交点时,求实数
的取值范围.
【答案】(1) 函数在
上单调递增,在
上单调递减.
(2)
【解析】
(1)对函数求导,根据
的不同取值,结合不等式,可以判断出函数的单调性;
(2)由题意可知:,得
.得
,
设,则
有三个不同的根等价于函数
存在三个不同的零点.对函数
进行求导,然后判断出其单调性,结合零点存在原理,最后求出实数
的取值范围.
(1)的定义域是
,
,
当时.
两数
在
上单调递增;
当时,令
,得
;令
,得
.
故函数在
上单调递增,在
上单洞递破.
(2)由,得
.得
,
设,则
有三个不同的根等价于函数
存在三个不同的零点.
,
当即
时,
,
单调递减,不可能有三个不同的零点,
当即
,
有两个零点
,
,
又开口向下,
当时,
,函数
在
上单调递诫:
当时.
函数
在
上单调递增:
当时.
,函数
在
上单调递减.
因为,又
,有
,
所以
,
令.则
.
令.则
单调递增.
由,求得
,
当时,
单调递减,
.,
显然在上单调递增,
故.
由零点存在性定理知在区间
上有一个根.设为
,
又.得
.所以
.所以
是
的另一个零点,
故当时,
存在三个不同的零点
.
故实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知抛物线的焦点为
.
(1)过点的直线
与抛物线
相交于
两点,若
,求直线
的方程;
(2)点是抛物线
上的两点,点
的纵坐标分别为1,2,分别过点
作倾斜角互补的两条直线交抛物线
于另外不同两点
,求直线
的斜率.
【题目】垃圾种类可分为可回收垃圾、干垃圾、湿垃圾、有害垃圾等,为调查中学生对垃圾分类的了解程度,某调查小组随机从本市一中高一的名学生(其中女生
人)中,采用分层抽样的方法抽取
名学生进行调查,已知抽取的
名学生中有男生
人、
(1)求值及抽到的女生人数;
(2)调查小组请这名学生指出生活中若干项常见垃圾的种类,把能准确分类不少于
项的称为“比较了解”,少于三项的称为“不太了解”,调查结果如下:
0项 | 1项 | 2项 | 3项 | 4项 | 5项 | 5项以上 | |
男生(人) | 4 | 22 | 34 | 18 | 16 | 10 | 6 |
女生(人) | 0 | 15 | 20+m | 20 | 16 | 9 | m |
求值,完成如下
列联表,并判断是否有
的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关?
不太了解 | 比较了解 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
(3)在(2)条件下,从抽取的“比较了解”的学生中仍采用分层抽样的方法抽取名.再从这
名学生中随机抽取
人作义务讲解员,求抽取的
人中至少一名女生的概率.
参考数据:
,
【题目】随着手机的发展,“微信”逐渐成为人们交流的一种形式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
年龄 (单位:岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75] |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(1)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面2×2列联表,并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关;
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(2)若从年龄在[55,65)的被调查人中随机选取2人进行追踪调查,求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率.
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2=,其中n=a+b+c+d.