题目内容
【题目】已知无穷数列{an}(an∈Z)的前n项和为Sn,记S1,S2,…,Sn中奇数的个数为bn.
(1)若an=n,请写出数列{bn}的前5项;
(2)求证:“a1为奇数,ai(i=2,3,4,…)为偶数”是“数列{bn}是单调递增数列”的充分不必要条件;
(3)若ai=bi,i=1,2,3,…,求数列{an}的通项公式.
【答案】(1) b1=1,b2=2,b3=2,b4=2,b5=3.(2)证明见解析;(3) an=0
【解析】
(1)当时,
,由此能写出数列
的前5项
(2)先证充分性,推导出,从而数列
是单调递增数列;再证不必要性,当数列
中只有
是奇数,其余项都是偶数时,
为偶数,
(
)均为奇数,
,数列
是单调递增数列,由此能证明:“
是奇数,
为偶数”是“数列
是单调递增数列”的充分不必要条件
(3)当为奇数时,推导出
不能为偶数;当
为偶数,推导出
不能是奇数,从而
与
同奇偶,由此得到
(1)当时,可知数列
是等差数列,则
,
∴,
,
,
,
∴,
,
,
,
(2)证明:(充分性)
∵是奇数,
为偶数,
∴对于任意,
都是奇数,
∴,
∴数列是单调递增数列
(不必要性)
当数列中只有
是奇数,其余项都是偶数时,
为偶数,
(
)均为奇数,
∴,数列
是单调递增数列,
∴“是奇数,
为偶数”是“数列
是单调递增数列”的不必要条件
综上,“是奇数,
为偶数”是“数列
是单调递增数列”的充分不必要条件
(3)(i)当为奇数时,若
为偶数,
若是奇数,则
为奇数,∴
为偶数,与
矛盾;
若为偶数,则
为偶数,∴
为奇数,与
矛盾
∴当为奇数时,
不能为偶数
(ii)当为偶数,若
为奇数,
若为奇数,则
为偶数,∴
为偶数,与
矛盾,
若为偶数,则
为奇数,∴
为奇数,与
矛盾,
∴当为偶数时,
不能是奇数
综上,与
同奇偶,
∵为偶数,且
,∴
,
∵,且
,∴
,
以此类推,得到
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