题目内容

20.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,且c=2,sinC(cosB-$\sqrt{3}$sinB)=sinA.
(1)求角C的大小;
(2)若cosA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,求边b的长.

分析 (1)已知等式利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简,整理求出tanC的值,即可确定出C的度数;
(2)由cosA的值求出sinA的值,利用两角和与差的正弦函数公式化简sin(A+C),把各自的值代入求出sin(A+C)的值,即为sinB的值,再由c,sinC的值,利用正弦定理求出b的值即可.

解答 解:(1)由题意得sinC(cosB-$\sqrt{3}$sinB)=sinA,
整理得:sinCcosB-$\sqrt{3}$sinBsinC=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,即-$\sqrt{3}$sinBsinC=sinBcosC,
∵sinB≠0,∴tanC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∵C为三角形内角,
∴C=$\frac{5π}{6}$;
(2)∵cosA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{1}{3}$,
∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{1}{3}$×(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$)+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$,
由正弦定理得:$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$,
则b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3}$.

点评 此题考查了正弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及诱导公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

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