Question

14．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点P₀出发，沿与AB的夹角为θ的方向射到边BC上点P₁后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD，DA和AB上的P₂，P₃，P₄处．
（1）若P₄与P₀重合，求tanθ的值；
（2）若P₄落在A、P₀两点之间，且AP₀=2，设tanθ=t．
（i）求tanθ的取值范围；
（ii）将五边形P₀P₁P₂P₃P₄的面积S表示为t的函数，并求S的最大值．
（参考结论：函数g（x）=x+$\frac{a}{x}$，（a＞0），x＞0，则函数g（x）在（0，$\sqrt{a}$]上是减函数，在[$\sqrt{a}$，+∞）是增函数．）

Answer 1

分析 （1）设P₀B=m（0＜m＜3），给出P₁B、P₁C关于m和tanθ的式子，利用解直角三角形分别算出P₂C、P₂D、P₃D、P₃A，从而可得AP₄=$\frac{{P}_{3}A}{tanθ}$=$\frac{4}{tanθ}$，根据点P₄与P₀重合得AP₄+P₀B=3，化成关于tanθ的式子，可得tanθ的值；
（2）（i）当AP₀=2即m=1，结合（I）得AP₄=$\frac{4}{t}$．由P₄落在A，P₀两点之间解得0＜AP₄＜2，从而tanθ=t∈（$\frac{2}{3}$，1）；
（ii）由五边形面积S=S_ABCD-${S}_{△B{P}_{0}{P}_{1}}$-${S}_{△C{P}_{1}{P}_{2}}$-${S}_{△D{P}_{2}{P}_{3}}$-${S}_{△A{P}_{3}{P}_{4}}$，将S化成关于t的函数S=32-（17t+$\frac{12}{t}$），再利用基本不等式求最值可得当t=$\sqrt{\frac{12}{17}}$时，S的最大值为32-4$\sqrt{51}$．

解答 解：（1）设P₀B=m（0＜m＜3），可得：
P₁B=mtanθ，P₁C=2-mtanθ，
P₂C=$\frac{{P}_{1}C}{tanθ}$=$\frac{2}{tanθ}$，P₂D=3+m-$\frac{2}{tanθ}$，
∴P₃D=P₂D•tanθ=（3+m）tanθ-2，P₃A=4-（3+m）tanθ，
可得AP₄=$\frac{{P}_{3}A}{tanθ}$=$\frac{4}{tanθ}$-3-m，
∵点P₄与P₀重合，∴AP₄+P₀B=3，
即$\frac{4}{tanθ}$-3-m+m=3，可得$\frac{4}{tanθ}$=6，解之得tanθ=$\frac{2}{3}$；
（2）（i）当AP₀=2即m=1，由（I）可得AP₄=$\frac{4}{tanθ}$-4，
∵P₄落在A，P₀两点之间，可得0＜AP₄＜2，即tanθ=t∈（$\frac{2}{3}$，1）；
（ii）五边形面积S=S_ABCD-${S}_{△B{P}_{0}{P}_{1}}$-${S}_{△C{P}_{1}{P}_{2}}$-${S}_{△D{P}_{2}{P}_{3}}$-${S}_{△A{P}_{3}{P}_{4}}$
=6-$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$（2-t）（$\frac{2}{t}$-1）-$\frac{1}{2}$（4-$\frac{2}{t}$）（4t-2）-$\frac{1}{2}$（4-4t）（$\frac{4}{t}$-4）
=32-17t-$\frac{12}{t}$=32-（17t+$\frac{12}{t}$）≤32-2$\sqrt{17t•\frac{12}{t}}$=32-4$\sqrt{51}$，
由此可得：当且仅当t=$\sqrt{\frac{12}{17}}$时，S的最大值为32-4$\sqrt{51}$．

点评 本题给出实际应用问题，求函数五边形面积的最大值．着重考查了解直角三角形、三角形的面积公式和利用基本不等式求函数的最值等知识，属于中档题．