Question

4．已知椭圆上一点与两个焦点的距离之和为10，焦距是函数：f（x）=x²-6x-16的零点．则椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$或$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

Answer 1

分析 由题意，f（x）=x²-6x-16的零点为-2，8，焦距是函数：f（x）=x²-6x-16的零点，可得c=4，利用椭圆上一点与两个焦点的距离之和为10，可得a=5，b=3，即可写出椭圆的标准方程．

解答 解：由题意，f（x）=x²-6x-16的零点为-2，8，焦距是函数：f（x）=x²-6x-16的零点，∴2c=8，c=4
∵椭圆上一点与两个焦点的距离之和为10，
∴2a=10，∴a=5，
∴b=3，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$或$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$或$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．