题目内容
10．已知函数f（x）=$\frac{bx+c}{x+1}$的图象过原点和点P（2，$\frac{2}{3}$）．（1）求f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并用定义证明．
分析 （1）根据条件，建立方程关系即可得到结论．
（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．
解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{bx+c}{x+1}$的图象过原点，
∴f（0）=0，则c=0，
则f（x）=$\frac{bx}{x+1}$，
∵函数过点P（2，$\frac{2}{3}$）．
∴f（2）=$\frac{2b}{2+1}=\frac{2b}{3}$=$\frac{2}{3}$，
则b=1，
即f（x）=$\frac{x}{x+1}$．
（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调递增，
设0＜x1＜x2，
∵f（x）=$\frac{x}{x+1}$=$\frac{x+1-1}{x+1}$=1-$\frac{1}{x+1}$，
∴f（x1）-f（x2）=1-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$-1+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{1}{{x}_{2}+1}$-$\frac{1}{{x}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
∵0＜x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，
则f（x1）-f（x2）=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$＜0，
即f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调递增．
点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调性的应用，利用定义法是解决本题的关键．
练习册系列答案
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如图所示，已知直角梯形ABCO中，∠ABC=∠BCO=90°，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，OA=OC=2，设$\overrightarrow{OM}$=m$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=n$\overrightarrow{OC}$（其中0＜m，n＜1），G为线段MN的中点．
19．终边在第二象限的角的集合可以表示为（ ）
| A． | {α|90°＜α＜180°} | |
| B． | {α|90°+k•180°＜α＜180°+k•180°，k∈Z} | |
| C． | {α|-270°+k•180°＜α＜-180°+k•180°，k∈Z} | |
| D． | {α|-270°+k•360°＜α＜-180°+k•360°，k∈Z} |
如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，一质点从AB边上的点P0出发，沿与AB的夹角为θ的方向射到边BC上点P1后，依次反射（入射角与反射角相等）到边CD，DA和AB上的P2，P3，P4处．