题目内容
【题目】已知函数,其中
为常数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若存在两个极值点
,求证:无论实数
取什么值都有
.
【答案】(1)当时,
在区间
上单调递增;
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增;
(2)见解析.
【解析】试题分析: (1)先求导数,研究导函数在定义域上零点情况,本题实质研究在
上零点情况:当方程无根时,函数单调递增;当方程有两个相等实根时,函数单调递增;当方程有两个不等实根时,比较两根与定义区间之间关系,再确定单调区间,(2)先由(1)知
,且两个极值点
满足
.再代入化简
得
,利用导数研究
单调性,最后根据单调性证明不等式.
试题解析:(1)函数的定义域为.
,记
,判别式
.
①当即
时,
恒成立,
,所以
在区间
上单调递增.
②当或
时,方程
有两个不同的实数根
,记
,
,显然
(ⅰ)若,
图象的对称轴
,
.
两根在区间
上,可知当
时函数
单调递增,
,所以
,所以
在区间
上递增.
(ⅱ)若,则
图象的对称轴
,
.,所以
,当
时,
,所以
,所以
在
上单调递减.当
或
时,
,所以
,所以
在
上单调递增.
综上,当时,
在区间
上单调递增;当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)由(1)知当时,
没有极值点,当
时,
有两个极值点
,且
.
,
∴又
,
.记
,
,则
,所以
在
时单调递增,
,所以
,所以
.
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