题目内容
18.△ABC的三边a,b,c成等比数列,且a<b<c,设l=$\frac{a+b+c}{a}$,则l的取值范围是(3,3+$\sqrt{5}$).分析 设三边的公比是q,三边为a,aq,aq2,(q>1),利用a+aq>aq2,确定q的范围,进而利用l=$\frac{a+b+c}{a}$=1+q+q2=(q+$\frac{1}{2}$)2+$\frac{3}{4}$在(1,$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$)上单调递增,求出l的取值范围.
解答 解:设三边的公比是q,三边为a,aq,aq2,(q>1)
且a+aq>aq2,∴1<q<$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,
∴l=$\frac{a+b+c}{a}$=1+q+q2=(q+$\frac{1}{2}$)2+$\frac{3}{4}$在(1,$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$)上单调递增,
∴3<l<3+$\sqrt{5}$.
故答案为:(3,3+$\sqrt{5}$).
点评 本题主要考查等比数列的定义,考查二次函数性质的应用,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | -$\frac{3}{2}$<k<$\frac{1}{2}$ | B. | k>$\frac{1}{2}$或k<-$\frac{3}{2}$ | C. | k≥$\frac{1}{2}$或k≤-$\frac{3}{2}$ | D. | k>-$\frac{1}{6}$ |