题目内容
【题目】已知为实常数,函数
.
(1)若在
是减函数,求实数
的取值范围;
(2)当时函数
有两个不同的零点
,求证:
且
.(注:
为自然对数的底数);
(3)证明
【答案】(1)(2)见解析
【解析】分析:(1) 因,则
,又
在
是减函数所以
在
时恒成立,则实数
的取值范围为
;(2)先证明下当
时,
,由(1)知
,则
在
内单调递增,在
内单调递减,由
,得
.所以
,
;(3)由(1)知当
时,
,当
时,有
,即
,累加可得结果.
详解:(1)因,则
,又
在
是减函数所以
在
时恒成立,则实数
的取值范围为
(2)因当时函数
有两个不同的零点
,则有
,
则有.设
.
.
当 时,
;当
时,
;
所以在
上是增函数,在
上是减函数.
最大值为
.
由于 ,且
,所以
,又
,所以
.
下面证明:当时,
.设
,
则 .
在
上是增函数,
所以当时,
.即当
时,
..
由得
.所以
.
所以 ,即
,
,
.
又 ,所以
,
.
所以 .而
,则有
.
由(1)知,则
在
内单调递增,在
内单调递减,
由,得
.所以
,
.
(3)由(1)知当时,
在
上是减函数,且
所以当时恒有
,即
当时,有
,即
,
累加得:(
)
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练习册系列答案
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【题目】某高级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表:
高一年级 | 高二年级 | 高三年级 | |
女生 | 373 | x | y |
男生 | 377 | 370 | z |
已知在全校学生中随机抽取1名,抽到高二年级女生的概率是0.19.
(1)求的值;
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生,问应该在高三年级抽取多少名?
(3)已知,
,求高三年级中女生比男生多的概率.