题目内容
【题目】(分)如图,在三棱锥
中,底面
为等边三角形,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ)求证:.
(Ⅱ)判断在线段上是否存在点
(与点
不重合),使得
为直角三角形?若存在,试找出一个点
,并求
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)详见解析(2)当时,
为直角三角形.
【解析】
试题分析:(1)根据正三角形的性质可得,根据勾股定理可得
,由线面垂直证的判定定理可得
平面
,由线面垂直的性质可得结论;(2)在(1)基础上可知平面
与
平面的垂直性,所以只需过
作交线
的垂线,由线线垂直
线面垂直,再由线面垂直
线线垂直,证明直角三角形的存在性,在上述条件下分别求出
,
,从而求出
的值即可.
试题解析:
(Ⅰ)证明:如图,连结,
∵在等边中,
是
的中点,且
,
∴,
,
∵在直角中,
是斜边
的中点,且
,
∴,
在中,由
,得
,
∴,
又∵,
平面
,
平面
,
∴平面
,
又∵平面
,
∴.
(Ⅱ)解:线段上存在点
使得
为直角三角形,此时
,
如图,过作
于点
,连结
,
∵平面
,
∴,
又∵,
平面
,
平面
,
∴平面
,
∴,
即为直角三角形,
故当点与点
重合时,
为直角三角形,
在直角中,由
,
,
,
得(即
),
(即
),
当时,
为直角三角形.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直性质与判定、线线垂直的证明,属于难题. 证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推论;(3)利用面面平行的性质
;(4)利用面面垂直的性质,当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.本题的解答一直围绕线面垂直与线线垂直的互相转化进行.
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