Question

【题目】设是公差为的等差数列，是公比为（）的等比数列，记.

（1）令，求证：数列为等比数列；

（2）若，，数列前2项和为14，前8项和为857，求数列通项公式；

（3）在（2）的条件下，问：数列中是否存在四项、、、成等差数列？请证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）；（3）不存在，理由见详解.

【解析】

（1）根据题意，先得到，再计算，根据等比数列的定义，即可证明结论成立；

（2）根据题意，由等差数列与等比数列的求和公式，列出方程组求解，求出，即可得出通项公式；

（3）先假设数列中存在四项、、、成等差数列，不妨令，

根据反证法，由题意推出矛盾，即可得出结论.

（1）因为是公差为的等差数列，是公比为（）的等比数列，，

，

所以，

因此数列为公比为的等比数列；

（2）因为，，数列前2项和为14，前8项和为857，

所以，即，解得：，

所以，，

因此；

（3）假设数列中存在四项、、、成等差数列，不妨令，

则，

因为，所以①

若，则，

结合①得，

化简得：②，

因为，，易得，这与②矛盾；所以只能；

同理：，

因此、、为数列的连续三项，从而，

即，故，即，

解得：，与矛盾；

所以假设不成立，从而数列中不存在四项、、、成等差数列.