题目内容
【题目】已知函数
()当
时,求
的单调区间和极值.
()若对于任意
,都有
成立,求
的取值范围 ;
()若
且
证明:
【答案】⑴详见解析;⑵详见解析.
【解析】试题分析:(1)求导数分类讨论①
时,
②当
时,令
解得
,当
时,
当
写出单调区间及极值.
(2)转化为对于
恒成立.分离参数
对于
恒成立,利用导数求不等式右边的最大值即可.
(3)不妨设则
,要证
只要证
即证
因为
在区间
上单调递增,所以
又即证
构造函数
函数
在区间
上单调递增,故
而
故
所以即
所以
成立.
试题解析:⑴
①时,因为
所以
函数的单调递增区间是
,无单调递减区间,无极值;
②当时,令
解得
,
当时,
当
所以函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
在区间上的极小值为
无极大值.
⑵ 由题意,
即问题转化为对于
恒成立.
即对于
恒成立,
令,则
令,则
所以在区间
上单调递增,故
故
所以在区间
上单调递增,函数
要使对于
恒成立,只要
,
所以即实数
的取值范围为
.
⑶ 因为由⑴知,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,且
不妨设则
,
要证只要证
即证
因为在区间
上单调递增,所以
又即证
构造函数
即
因为,所以
即
所以函数在区间
上单调递增,故
而故
所以即
所以
成立.
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