题目内容
【题目】已知离心率为的椭圆
焦点在
轴上,且椭圆
个顶点构成的四边形面积为
,过点
的直线
与椭圆
相交于不同的两点
、
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上一点,且
(
为坐标原点).求当
时,实数
的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)由离心率率与面积,可求得
。(2)由(1)椭圆方程为
,设直线
的方程为
,由直线椭圆方程组方程组,再由判别式,
,这两个不等式可求得参数k的范围,再由
的坐标表示及点P在椭圆上,可求得
与k的有关系,通过k的范围求出
的范围。
试题解析:(1)设椭圆的方程为,由题意可知
,得
,
;
又顶点构成四边形的是菱形,面积,所以
,
,椭圆方程为
.
(2)设直线的方程为
或
,
,
,
,
当的方程为
时,
,与题意不符.
当的方程为
时,由题设可得
、
的坐标是方程组
的解.
消去得
,所以
,即
,
则,
,
,
因为
,所以
,
解得,所以
.
因为,即
,
所以当时,由
,得
,
,
上述方程无解,所以此时符合条件的直线不存在:
当时,
,
,
因为点在椭圆上,所以
,
化简得,因为
,所以
,则
.
综上,实数的取值范围为
.
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