题目内容
4．已知平面直角坐标系 xOy中，过点 P（-1，-2）的直线l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcos{45°}\\ y=-2+tsin{45°}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ρsinθtanθ=2a（a＞0），直线 l与曲线C相交于不同的两点M．N（I）求曲线C和直线 l的普通方程；
（Ⅱ）若|PM|=|MN|，求实数a的值．
分析 （Ⅰ）利用同角的平方关系以及极坐标方程和直角坐标的互化公式求解；
（Ⅱ）结合直线的参数方程中参数的几何意义和二次方程的韦达定理，求解即可．
解答 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcos{45°}\\ y=-2+tsin{45°}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线l的普通方程：x-y-1=0，
∵曲线C的极坐标方程为 ρsinθtanθ=2a（a＞0），
∴ρ2sin2θ=2aρcosθ（a＞0），
∴曲线C的普通方程：y2=2ax；
（Ⅱ）∵y2=2ax；
∴x≥0，
设直线l上点M、N对应的参数分别为t1，t2，（t1＞0，t2＞0），
则|PM|=t1，|PN|=t2，
∵|PM|=|MN|，
∴|PM|=$\frac{1}{2}$|PN|，
∴t2=2t1，
将 $\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcos{45°}\\ y=-2+tsin{45°}\end{array}\right.$（t为参数），代入y2=2ax得
t2-2$\sqrt{2}$（a+2）t+4（a+2）=0，
∴t1+t2=2$\sqrt{2}$（a+2），
t1t2=4（a+2），
∵t2=2t1，
∴a=$\frac{1}{4}$．
点评 本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．
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