Question

【题目】已知函数的图象的一条切线为轴.（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证： .

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：（1）对函数求导，由题可设切点坐标为，由原函数和切线的斜率为可得方程组，解方程组得值；（2）由题知，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系，判断的单调性，再构造函数，利用导数判断出的单调性，最后可令，利用单调性可得结论．

试题解析：（1）， ，

设切点坐标为，由题意得，

解得： .

（2），令，

则，当时， ， ，

又可以写成，当时， ， ，

因此在上大于0， 在上单调递增，又，

因此在上小于0，在上大于0，

且在上单调递减，在上单调递增，

，

当时， ，

记，

记函数的导函数为，则

，

故在上单调递增，

所以，所以，

不妨设，则，

而， ，有单调性知，即.