Question

(本题满分12分)
已知函数,为实数，.
（Ⅰ）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；
（Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数．

Answer 1

（Ⅰ），为所求． （Ⅱ）或．
（Ⅲ）当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；
当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，
可知函数有两个极值点．

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。
（1）因为函数,为实数，.求解导数。判定单调性和最值，结合在区间上的最小值、最大值分别为、1得到参数、的值；
（2）在（Ⅰ）的条件下，先求解导数值，然后得到经过点且与曲线相切的直线的方程；
（Ⅲ）设函数，函数的极值点个数就是分析单调性来得到结论。
解：（Ⅰ）由，得，．
∵，，
∴ 当时，，递增；
当时，， 递减．
∴ 在区间上的最大值为，∴．……………………2分
又，，∴ ．
由题意得，即，得．
故，为所求．                 ………………………………4分
（Ⅱ）解：由（1）得，，点在曲线上．
⑴ 当切点为时，切线的斜率，
∴ 的方程为，即． ……………………5分
⑵当切点不是切点时，设切点为，
切线的斜率，
∴ 的方程为 ．
又点在上，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即，∴．
∴ 切线的方程为
故所求切线的方程为或．  ………………………………8分
（Ⅲ）解： ．
∴

二次函数的判别式为
，
令，得：
令，得    ………………………………10分
∵，，
∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；
当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，
可知函数有两个极值点．               ………………………………12分