题目内容
12．证明：$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞2}\\{xy-（x+y）+1＞0}\end{array}\right.$是$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞1}\end{array}\right.$的充要条件．分析 证明：根据充分条件和必要条件的定义进行证明即可．
解答 即xy-（x+y）+1=（x-1）（y-1），
若$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞2}\\{xy-（x+y）+1＞0}\end{array}\right.$成立，则xy-（x+y）+1=（x-1）（y-1）＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{y＜1}\end{array}\right.$，
∵x+y＞2，∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{y＜1}\end{array}\right.$，（不成立），$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞1}\end{array}\right.$成立．
若$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞1}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞2}\\{xy-（x+y）+1＞0}\end{array}\right.$成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞2}\\{xy-（x+y）+1＞0}\end{array}\right.$是$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{y＞1}\end{array}\right.$的充要条件．
点评 本题主要考查充分条件和必要条件的证明，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
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| A． | $\sqrt{2}$ | B． | 2$\sqrt{2}$ | C． | 3$\sqrt{2}$D | D． | $\frac{1}{\root{3}{4}\root{3}{{x}^{2}{•y}^{2}•z}}$ |