Question

2．已知0＜a＜1，0＜b＜1，log₂a•log₂b=3．求ab的最大值．

Answer 1

分析 根据所给的字母a，b的值，看出这两个字母的取值是负数，根据要求的式子和已知式子之间的关系，把要求的式子整理成可以应用基本不等式来求最值的形式，得到结果．

解答 解：∵0＜a＜1，0＜b＜1，log₂a•log₂b=3，
∴log₂a＜0，log₂b＜0
-log₂ab=-log₂a-log₂b≥2$\sqrt{（-lo{g}_{2}a）（-lo{g}_{2}b）}$=2$\sqrt{3}$，
∴log₂ab≤-2$\sqrt{3}$，ab≤${2}^{-2\sqrt{3}}$．
∴当$lo{g}_{2}a=lo{g}_{2}b=-\sqrt{3}$时，
ab取最大值${2}^{-2\sqrt{3}}$．

点评 本题考查两数的乘积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质和均值不等式的合理运用．